Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики
преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

на тему: Кольцо целых чисел Гаусса.

Выполнил:

студент V курса

математического факультета

Гнусов В.В.

___________________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры

алгебры и геометрии

Семенов А.Н..

___________________________

Рецензент:

кандидат физ.-мат. наук, доцент

кафедры алгебры и геометрии

Ковязина Е.М.

___________________________

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой________________ Вечтомов Е.М.

« »________________

Декан факультета___________________ Варанкина В.И.

Введение.

Кольцо целых комплексных чисел

было открыто Карлом Гауссом и названо в его честь гауссовым.

К. Гаусс пришел к мысли о возможности и необходимости расширения понятия целого числа в связи с поиском алгоритмов решения сравнений второй степени. Он перенес понятие целого числа на числа вида

, где - произвольные целые числа, а - является корнем уравнения На данном множестве К. Гаусс впервые построил теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Он обосновал справедливость основных свойств делимости; показал, что в кольце комплексных чисел существует только четыре обратимых элемента: ; доказал справедливость теоремы о делении с остатком, теоремы о единственности разложения на простые множители; показал какие простые натуральные числа останутся простыми и в кольце ; выяснил природу простых целых комплексных чисел.

Развитая К. Гауссом теория, описанная в его труде «Арифметические исследования», явилась фундаментальным открытием для теории чисел и алгебры.

В выпускной работе были поставлены следующие цели:

1. Развить теорию делимости в кольце чисел Гаусса.

2. Выяснить природу простых гауссовых чисел.

3. Показать применение гауссовых чисел при решении обычных диофантовых задач.

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.

Рассмотрим множество комплексных чисел. По аналогии с множеством действительных чисел в нем можно выделить некоторое подмножество целых чисел. Множество чисел вида

, где назовем целыми комплексными числами или гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняются аксиомы кольца. Таким образом, это множество комплексных чисел является кольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса . Обозначим его как , так как оно является расширением кольца элементом: .

Поскольку кольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для него справедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например, каждому гауссовому числу

соответствует вектор с началом в точке и с концом в . Следовательно, модуль гауссова числа есть . Заметим, что в рассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть число неотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой , то есть квадратом модуля. Таким образом . Можно выделить следующие свойства нормы. Для любых гауссовых чисел справедливо: (1) (2) (3) (4) (5) - множество натуральных чисел, то есть целых положительных чисел.

Справедливость данных свойств тривиальным образом проверяется с помощью модуля. Попутно заметим, что (2), (3), (5) справедливы и для любых комплексных чисел.

Кольцо гауссовых чисел - это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативная сократимость кольца

, то есть (6)

1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ.

Посмотрим, какие гауссовы числа будут обратимыми. Нейтральным по умножению является

. Если гауссово число обратимо , то, по определению, существует такое, что . Переходя к нормам, согласно свойству 3, получим . Но эти нормы натуральны, следовательно . Значит, по свойству 4, . Обратно, все элементы данного множества обратимы, поскольку . Следовательно, обратимыми будут числа с нормой равной единице, то есть , .

Как видно не все гауссовы числа будут обратимы. Поэтому интересно рассмотреть вопрос делимости. Как обычно, мы говорим, что

делится на , если существует такое, что .Для любых гауссовых чисел , а также обратимых справедливы свойства. (7) (8) (9) (10) , где (11) (12)

Легко проверяются (8), (9), (11), (12). Справедливость (7) следует из (2), а (10) следует из (6). В силу свойства (9), элементы множества

Как уже отмечалось, кольцо имеет перед полукольцом то преимущество, что в кольце однозначно разрешимо уравнение а + х = Ь для любых элементов кольца а и Ь. Это, в частности, и отличает кольцо целых чисел от полукольца натуральных чисел. Возможность всегда однозначно решить такое уравнение позволяет определить в кольце новую операцию - вычитание.

3.1.5. Определение. Пусть дано кольцо (К, +, ?). Для любых а,ЬеК определим b-а как решение уравнения а + х = Ь. Отображение КхК -»К , сопоставляющее всякой упорядоченной паре элементов (Ь>а) элемент b-а , называется вычитанием , а элемент b-а называется разностью элементов baa.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что элемент Ь + (-а) является решением уравнения а + х = Ь, а из единственности решения получаем b-a = b + (-а).

Используя понятие разности элементов кольца, установим еще одну характеризацию системы целых чисел, которую также можно взять в качестве ее определения.

3.1.6. Теорема. Система (К, +, ) есть система целых чисел тогда и только тогда , когда она является кольцом, содержащим полукольцо натуральных чисел {N 9 +, ), причем всякий элемент из К представим в виде разности натуральных чисел, то есть для любого а е К существуют пн п е N такие, что а = т - н .

Доказательство. (=>) Пусть К, +, ) есть система целых чисел мае К. Докажем, что элемент а представим в виде

разности натуральных чисел. По условию 2) из определения 3.1.2, К = Z = N^j{0}kj-N. EcnuaeN, то a = (a + 1)-1; если й g{0}, то а = п-п, где п е N ; если же а е -N , то а = -п и а = 1 - (п +1).

(К, +, ) содержит полукольцо натуральных чисел (N, +, ) и всякий элемент из К представим в виде

разности натуральных чисел. Докажем, что К = ;Vu{0}u-;V = Z. По условию, для любого аеК существуют т,п е N такие, что а = т -п. Но для натуральных чисел т и п имеет место одно и только одно из соотношений: либо т = п + к при некотором к е N , либо т = п , либо п = т + 1 при некотором / е N . В первом случае получаем а = т-п = к е N, во втором а = т - п = 0 € {0}, а в третьем а = т - п = -le -N. ?

Упражнения

• 1. Приведите примеры полуколец, в которых уравнение вида а + .v = h не всегда разрешимо.
• 2. Докажите, что в кольце уравнение а+х - b имеет единственное решение.
• 3. Приведите примеры колец: коммутативных и не коммутативных, с единицей и без единицы, конечных и бесконечных.
• 4. Во всяком ли кольце сложение обладает свойством сократимости (т.е. из а + с = Ь + с следует а -Ь)1 А умножение (всегда ли из ас = Ьс и с* 0 следует а = ЬУ>
• 5. Докажите, что изоморфный образ кольца целых чисел есть кольцо целых чисел.
• 6. Говорят, что кольцо (К, +, ) с единицей е имеет характеристику 0, если для любого п € Л" имеет место неравенство не * 0. Докажите, что в кольце характеристики 0 подмножество {не |« е Z J является подкольцом, изоморфным кольцу целых чисел. Отсюда получаем еще одно краткое по форме определение системы целых чисел: кольцо целых чисел ? это минимальное кольцо характеристики 0.
• 7. Пусть дано кольцо (К, +, > с единицей е. Элемент аеК называется обратимым , если для него существует обратный элемент а~" такой, что а а~ [ = а "а=е. Докажите, что множество обратимых элементов кольца замкнуто относительно умножения, ему принадлежит единица и для всякого элемента этого множества в нем существует обратный элемент. В силу этих свойств это множество называется мультипликативной группой кольца и обозначается К*. Найдите мультипликативные группы колец (Z, +, > и (?Л+, ).
• 8. Докажите, что пересечение двух подколец есть подкольцо. Найдите пересечения подколец 2Z и 3Z, 6Z и 15Z, kZ и mZ.
• 9. Подкольцо // коммутативного кольца (К, +, > называется идеалом, если оно выдерживает умножение на любой элемент кольца, т.е. если для любых h е Н

и к еК произведения kh и hk принадлежат Н . Докажите, что для любых элементов а,а 2 *...»е ЛГ, множество Н = {ka + k 2 (i 2 + -- + k n a n } является идеалом кольца (К, +, ), который обозначается через (д,а 2 »-»я я > (читается: идеал, порожденный элементами Л|,а 2 , а„). При;; = 1 такой идеал называется главным и обозначается (а,). Покажите, что mZ является главным идеалом кольца целых чисел (Z, +, >.

10. Докажите, что в кольце целых чисел всякий идеал является главным. (Указа- н и е. Если Н - ненулевой идеал кольца (Z, +, >, то Н = (т) , где т - наименьшее натуральное число в Я.)

Мы видели, что действия над многочленами сводятся к действиям над их коэффициентами. При этом для сложения, вычитания и умножения многочленов достаточно трех арифметических действий - деление чисел не понадобилось. Так как сумма, разность и произведение двух действительных чисел снова являются действительными числами, то при сложении, вычитании и умножении многочленов с действительными коэффициентами в результате получаются многочлены с действительными же коэффициентами.

Однако не всегда приходится иметь дело с многочленами, имеющими любые действительные коэффициенты. Возможны случаи, когда по самой сути дела коэффициенты должны иметь лишь целые или лишь рациональные значения. В зависимости от того, какие значения коэффициентов считаются допустимыми, меняются свойства многочленов. Например, если рассматривать многочлены с любыми действительными коэффициентами, то можно разложить на множители:

Если же ограничиться многочленами с целыми коэффициентами, то разложение (1) не имеет смысла и мы должны считать многочлен неразложимым на множители.

Отсюда видно, что теория многочленов существенно зависит от того, какие коэффициенты считаются допустимыми. Далеко не любую совокупность коэффициентов можно принять за допустимую. Например, рассмотрим все многочлены, коэффициенты которых - нечетные целые числа. Ясно, что сумма двух таких многочленов уже не будет многочленом того же типа: ведь сумма нечетных чисел - четное число.

Поставим вопрос: каковы «хорошие» множества коэффициентов? Когда сумма, разность, произведение многочленов с коэффициентами данного типа имеют коэффициенты того же типа? Для ответа на этот вопрос введем понятие числового кольца.

Определение. Непустое множество чисел называется числовым кольцом, если вместе с любыми двумя числами а и оно содержит их сумму, разность и произведение. Это выражают также короче, говоря, что числовое кольцо замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.

1) Множество целых чисел является числовым кольцом: сумма, разность и произведение целых чисел - целые числа. Множество же натуральных чисел числовым кольцом не является, так как разность натуральных чисел может быть отрицательной.

2) Множество всех рациональных чисел - числовое кольцо, так как сумма, разность и произведение рациональных чисел рациональны.

3) Образует числовое кольцо и множество всех действительных чисел.

4) Числа вида а где а и целые, образуют числовое кольцо. Это следует из соотношений:

5) Множество нечетных чисел не является числовым кольцом, так как сумма нечетных чисел четна. Множество же четных чисел - числовое кольцо.

В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

Примеры колец:

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Примеры

a + b i {\displaystyle a+bi} где a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} рациональные числа, i {\displaystyle i} - мнимая единица . Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с комплексными числами , и у каждого ненулевого элемента существует обратный, как это видно из равенства (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. {\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.} Из этого следует, что рациональные гауссовы числа образуют поле, являющееся двумерным пространством над (то есть квадратичным полем).

• Более общо, для любого свободного от квадратов целого числа d {\displaystyle d} Q (d) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} будет квадратичным расширением поля Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .
• Круговое поле Q (ζ n) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} получается добавлением в Q {\displaystyle \mathbb {Q} } примитивного корня n -й степени из единицы. Поле должно содержать и все его степени (то есть все корни n -й степени из единицы), его размерность над Q {\displaystyle \mathbb {Q} } равняется функции Эйлера φ (n) {\displaystyle \varphi (n)} .
• Действительные и комплексные числа имеют бесконечную степень над рациональными, поэтому они не являются числовыми полями. Это следует из несчетности: любое числовое поле является счётным .
• Поле всех алгебраических чисел A {\displaystyle \mathbb {A} } не является числовым. Хотя расширение A ⊃ Q {\displaystyle \mathbb {A} \supset \mathbb {Q} } алгебраично, оно не является конечным.

Кольцо целых числового поля

Поскольку числовое поле является алгебраическим расширением поля Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , любой его элемент является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами (то есть является алгебраическим). Более того, каждый элемент является корнем многочлена с целыми коэффициентами, так как можно домножить все рациональные коэффициенты на произведение знаменателей. Если же данный элемент является корнем некоторого унитарного многочлена с целыми коэффициентами, он называется целым элементом (или алгебраическим целым числом). Не все элементы числового поля целые: например, легко показать что единственные целые элементы Q {\displaystyle \mathbb {Q} } - это обычные целые числа .

Можно доказать, что сумма и произведение двух алгебраических целых чисел - снова алгебраическое целое число, поэтому целые элементы образуют подкольцо числового поля K {\displaystyle K} , называемое кольцом целых поля K {\displaystyle K} и обозначаемое . Поле не содержит делителей нуля и это свойство наследуется при переходе к подкольцу, поэтому кольцо целых целостно ; поле частных кольца O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} - это само поле K {\displaystyle K} . Кольцо целых любого числового поля обладает следующими тремя свойствами: оно целозамкнуто , нётерово и одномерно . Коммутативное кольцо с такими свойствами называется дедекиндовым в честь Рихарда Дедекинда .

Разложение на простые и группа классов

В произвольном дедекиндовом кольце существует и единственно разложение ненулевых идеалов в произведение простых . Однако не любое кольцо целых удовлетворяет свойству факториальности : уже для кольца целых квадратичного поля O Q (− 5) = Z [ − 5 ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} разложение не единственно:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 − − 5) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}

Введя на этом кольце норму, можно показать, что эти разложения действительно различны, то есть одно нельзя получить из другого умножением на обратимый элемент .

Степень нарушения свойства факториальности измеряют при помощи группы классов идеалов , эта группа для кольца целых всегда конечна и её порядок называют числом классов.

Базисы числового поля

Целый базис

Целый базис числового поля F степени n - это множество

B = {b 1 , …, b n }

из n элементов кольца целых поля F , такое что любой элемент кольца целых O F поля F можно единственным способом записать как Z -линейную комбинацию элементов B ; то есть для любого x из O F существует и единственно разложение

x = m 1 b 1 + … + m n b n ,

где m i - обычные целые числа. В этом случае любой элемент F можно записать как

m 1 b 1 + … + m n b n ,

где m i - рациональные числа. После это целые элементы F выделяются тем свойством, что это в точности те элементы, для которых все m i целые.

Используя такие иструменты как локализация и эндоморфизм Фробениуса , можно построить такой базис для любого числового поля. Его построение является встроенной функцией во многих системах компьютерной алгебры .

Степенной базис

Пусть F - числовое поле степени n . Среди всех возможных базисов F (как Q -векторного пространства), существуют степенные базисы, то есть базисы вида

B x = {1, x , x 2 , …, x n −1 }

для некоторого x ∈ F . Согласно теореме о примитивном элементе , такой x всегда существует, его называют примитивным элементом данного расширения.

Норма и след

Алгебраическое числовое поле является конечномерным векторным пространством над Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (обозначим его размерность за n {\displaystyle n} ), и умножение на произвольный элемент поля является линейным преобразованием этого пространства. Пусть e 1 , e 2 , … e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots e_{n}} - какой-нибудь базис F , тогда преобразованию x ↦ α x {\displaystyle x\mapsto \alpha x} соответствует матрица A = (a i j) {\displaystyle A=(a_{ij})} , определяемая условием

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . {\displaystyle \alpha e_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .}

Элементы этой матрицы зависят от выбора базиса, однако от него не зависят все инварианты матрицы, такие как определитель и след . В контексте алгебраических расширений, определитель матрицы умножения на элемент называется нормой этого элемента (обозначается N (x) {\displaystyle N(x)} ); след матрицы - следом элемента (обозначается Tr (x) {\displaystyle {\text{Tr}}(x)} ).

След элемента является линейным функционалом на F :

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) {\displaystyle {\text{Tr}}(x+y)={\text{Tr}}(x)+{\text{Tr}}(y)} и Tr (λ x) = λ Tr (x) , λ ∈ Q {\displaystyle {\text{Tr}}(\lambda x)=\lambda {\text{Tr}}(x),\lambda \in \mathbb {Q} } .

Норма является мультипликативной и однородной функцией:

N (x y) = N (x) ⋅ N (y) {\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)} и N (λ x) = λ n N (x) , λ ∈ Q {\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in \mathbb {Q} } .

В качестве исходного базиса можно выбрать целый базис , умножению на целое алгебраическое число (то есть на элемент кольца целых ) в этом базисе будет соответствовать матрица с целыми элементами. Следовательно, след и норма любого элемента кольца целых являются целыми числами.

Пример использования нормы

Пусть d {\displaystyle d} - - целый элемент, так как он является корнем приведенного многочлена x 2 − d {\displaystyle x^{2}-d} ). В этом базисе умножению на a + b d {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}} соответствует матрица

(a d b b a) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}}

Следовательно, N (a + b d) = a 2 − d b 2 {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}} . На элементах кольца эта норма принимает целые значения. Норма является гомоморфизмом мультипликативной группы Z [ d ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]} на мультипликативную группу Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , поэтому норма обратимых элементов кольца может быть равна только 1 {\displaystyle 1} или − 1 {\displaystyle -1} . Для того, чтобы решить уравнение Пелля a 2 − d b 2 = 1 {\displaystyle a^{2}-db^{2}=1} , достаточно найти все обратимые элементы кольца целых (также называемые единицами кольца ) и выделить среди них имеющие норму 1 {\displaystyle 1} . Согласно теореме Дирихле о единицах , все обратимые элементы данного кольца являются степенями одного элемента (с точностью до умножения на − 1 {\displaystyle -1} ), поэтому для нахождения всех решений уравнения Пелля достаточно найти одно фундаментальное решение.

См. также

Литература

• Х. Кох. Алгебраическая теория чисел . - М. : ВИНИТИ , 1990. - Т. 62. - 301 с. - (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
• Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. - М. : Едиториал УРСС, 2004.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. - М. : Едиториал УРСС, 2011.
• Serge Lang , Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000